Eine Gerade ist die unendliche Verlängerung der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten. Anschaulich ist eine Gerade eine unendlich lange, gerade Linie. Zwischen zwei Punkten gibt es immer genau eine Gerade. Alle Geraden können durch eine lineare Gleichung dargestellt werden, daher nennt man Geraden auch lineare Funktionen. Dieser Artikel befasst sich mit Geraden in der gewöhnlichen Analysis. Für Geraden in der analytischen Geometrie siehe: Artikel zum Thema Allgemeine Geradengleichung Um die Gerade aufzustellen, braucht man lediglich die Steigung und den Schnittpunkt der Gerade mit der y-Achse. y = m ⋅ x + t \displaystyle y=\textcolor{ff6600}{m}\cdot x+\textcolor{009999}{t} Bei dieser Gleichung ist m \textcolor{ff6600}{m} die Steigung der Geraden und t \textcolor{009999}{t} der y-Wert, in dem die Gerade die y-Achse schneidet. Bestandteile der Geradengleichung Eine Geradengleichung besteht aus einer Steigung und dem y-Achsenabschnitt t. Diese Bestandteile werden im folgenden näher erläutert.
Berechne die Gleichung der Geraden, die durch A und B verläuft. Berechne die Steigung mit dem Differenzenquontienten m = 1 − 3 − 1 − 2 = − 2 − 3 = 2 3 m=\frac{\;\;1-3}{-1-2}=\frac{-2}{-3}=\frac23 Setze m und einen beliebigen Punkt in die Geradengleichung ein, um t zu bestimmen. Wir verwenden den Punkt B. y = m ⋅ x + t 3 = 2 3 ⋅ 2 + t ∣ − 4 3 3 − 4 3 = t t = 5 3 \begin{array}{l}\begin{array}{ccccc}\mathrm y&=&\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t&&\\3&=&\frac23\cdot2+\mathrm t&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left|-\frac43\right. &\;\\3-\frac43&=&\mathrm t\;\;\;\;\;\;\;\;&\;\;&\;\end{array}\\\begin{array}{ccc}\;\;\;\;\;\;\;\mathrm t&=&\frac53\;\;\;\;\;\;\;\end{array}\\\\\end{array} Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein. ⇒ y = 2 3 x + 5 3 \;\;\Rightarrow\;\;\mathrm y=\frac23\mathrm x+\frac53 Stelle die Gleichung der Geraden durch die zwei Punkte auf und zeichne sie. Allgemeine Geraden (interaktiv) Ursprungsgeraden Eine Gerade, die durch den Nullpunkt (oder auch Koordinatenursprung) geht, bezeichnet man als Ursprungsgerade.
Soll heißen: Man berechnet den Abstand der beiden y-Koordinaten und teilt ihn durch den Abstand der beiden x-Koordinaten. Hier mal ein Beispiel: Wie man sieht, hat man zunächst nur die Steigung berechnet. Um dann die Funktionsgleichung zu ermitteln, muss man noch einen Punkt einsetzen und erhält eine Gleichung, mit der man den y-Abschnitt bestimmen kann. lineare, funktionen, mathe, gleichungen, formel, aufgaben, zuordnung, beispiele, funktionsgleichung, steigung, gleichung, zeichnen, wertetabelle, nullstellen Kann ich dazu noch mehr Beispiele sehen? Klar, gib deine eigenen Beispiele einfach oben ein und sie werden dir sofort kostenlos ausgerechnet. (Das ist eigentlich das Konzept von Mathepower: Du schaust dir nicht nur irgendwelche vorgerechneten Beispiele mit Erklärungen an, sondern darfst dir sogar selbst die Beispiele aussuchen. )
Als Beispiel betrachten wir die Gerade: y = 2 x + 3 \displaystyle y=2x+3 Steigung Die Steigung gibt an, wie schnell eine Gerade steigt oder fällt. Aus der gegebenen Gleichung kann man hier die Steigung m = 2 m=2 herauslesen. Wüsste man das nicht, könnte man die Steigung auch anhand eines Steigungsdreiecks bestimmen. Dazu benötigt man mindestens zwei verschiedene Punkte, die man durch Einsetzen verschiedener x-Werte erhalten kann. Der y-Achsenabschnitt t Der y-Achsenabschnitt t gibt an, in welchem y-Wert die Gerade die y-Achse schneidet. Man erhält den Wert auch, indem man für x Null in die Geradengleichung einsetzt, da m ⋅ x m\cdot x für den Fall x = 0 x=0 wegfällt und von der ursprünglichen Gleichung nur noch y = t y=t übrigbleibt. Dass der y-Achsenabschnitt t im Beispiel den Wert 3 hat, erkennt man in der Zeichnung auch daran, dass die Gerade die y-Achse im Punkt B schneidet. B hat die Koordinaten ( 0 ∣ 3) \left(0\left|3\right. \right). Geradengleichung durch zwei verschiedene Punkte berechnen Beispiel: Gegeben sind die Punkte A(-1|1) und B(2|3).
Eine solche Gerade hat immer die Geradengleichung y = m ⋅ x y=m\cdot x, da t = 0 t=0 gilt. Konstante Funktionen Eine Gerade, die parallel zur x-Achse verläuft, hat die Form y = c y=c und wird als konstante Funktion bezeichnet, da sie immer den gleichen, konstanten Wert annimmt. Senkrechte Geraden Eine Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft, ist keine Funktion (siehe Definition einer Funktion), sondern eine Relation. Sie kann nicht mit der allgemeinen Geradengleichung beschrieben werden, da die Steigung unendlich wäre. Eine Gleichung für eine Senkrechte hat die Form x = c \mathrm x=\mathrm c. Hallo, es wäre bestimmt hilfreich, hier auch noch zu erwähnen, wie man die Geradengleichung aufstellt, wenn man nur EINEN Punkt und dafür noch die Steigung m oder den y-Achsenabschnitt t gegeben hat. LG Julian Antwort abschicken Hallo, ich würde mich sehr freuen, wenn es die Möglichkeit gäbe, diese übersichtliche Darstellung als PDF abzuspeichern. Ist das möglich? Nessa 2015-11-26 19:53:32+0100 Statt Graphiken wird mir "Illegal Injection found" angezeigt.
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Ist das nur temporär/ bei mir so?
333 y-Achsenabschnitt bei (0|4) Diese lineare Funktion hat die Steigung. Das heißt, immer, wenn wir ein Kästchen nach rechts gehen, müssen wir drei Kästchen nach unten gehen, um wieder auf dem Graphen der linearen Funktion zu sein. Was ist der y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion? Der y-Achsenabschnitt ist die Zahl am Ende der linearen Funktion. Er gibt an (wie der Name schon sagt... ), wo der Funktionsgraph die y-Achse schneidet. Wenn man sich die beiden Funktionsgraphen oben anschaut, sieht man, dass die y-Achse bei schneidet und die y-Achse bei schneidet. Wie kann man die Funktionsgleichung aus der Steigung und einem Punkt berechnen? Dazu muss man den Punkt in die Funktionsgleichung einsetzen, soll heißen: die vordere Koordinate für x und die hintere für f(x) einsetzen. Hier mal ein Beispiel: Angenommen, wir wissen, dass unsere Funktion die Steigung haben und durch den Punkt (-2|5) verlaufen soll. Wie kann man die Gleichung einer linearen Funktion aus zwei Punkte berechnen? Dazu berechnet man zunächst die Steigung m, wobei man die x- und y- Koordinaten der beiden Punkte in die Formel einsetzt.